반도체_상태 밀도 함수(페르미 디락)

오늘은 carrier의 concentration에 대해 알아보도록 하겠습니다

캐리어는 전기를 흐르게 하는 운반자이기 때문에 전자뿐만아니라 홀도 포함된다는 점! 알아주시고요

우리는 왜 이런 캐리어의 농도에 대해 알아야할까요??

간단하게 반도체의 전기적 성질을 계산하고 전자소자의 동작을 분석하기 위해서 필요하기 때문입니다

전자제품에 들어가는 반도체의 전기적 성질을 계산한다니.. 얼마나 중요한지 감이 오시나요?

자 이제 이러한 캐리어농도에 대해 알아볼게요

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캐리어농도를 알기 위해서 우리는 페르미 디락 분포(Fermi dirac distribution)와 DOS라고 불리는 상태밀도함수(Density of state)에 대해 알아야해요.

* 페르미 디락 분포(f(E)) : 어떤 특정 energy state에서 전자가 빈 energy state를 점유할 확률

* DOS(g(E)) : 단위부피당 , 단위에너지당 존재할 수 있는 energy state의 갯수

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$페르미디락\ 분포f\left(E\right)\ 를식으로나타내면\ \ \ \ \ f\left(E\right)=\frac{1}{1+\exp \left[\left(\frac{E-\combi{E}_f}{kT}\right)\right]}$페르미디락 분포f(E) 를식으로나타내면     f(E)=11+exp[(E−Ef​kT​)]​​

로 정리할 수 있고 만약 E-Ef >> kT 라면 Boltzmann approximation에 의해 단순화되는데 이를

$f\left(E\right)=\exp \left(-\frac{E-\combi{E}_F}{kT}\right)\ \ \ \ \ \ 로나타낼\ 수\ 있습니다$f(E)=exp(−E−EF​kT​)      로나타낼 수 있습니다​

* EF 는 fermi level 로 전자의 존재 확률이 50% 인 에너지 level 을 의미합니다

* 300k 에서 kT = 0.0259eV 의 값을 갖습니다.

위 f(E) 식으로 원하는 energy state에 전자의 존재확률을 구할 수 있기 때문에 잘 알아두시길 바랍니다.

아! 그리고 만약 정공을 구하고 싶다면 1-f(E) 를 해주면 됩니다

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그래서 이것들로 농도를 어떻게 구하는건가 싶을텐데요!

간단하게 아파트로 예를 들어볼게요.

아파트가 조금 이상하죠..? ㅎ 제 상상속 아파트입니다^^;

아무튼 이렇게 층마다 들어갈 수 있는 집의 갯수가 다른 아파트가 있다고 가정할게요

이 아파트를 위 개념과 접목시켜보면 DOS는 각 층마다 집이 몇 개 있는지를 나타내고 f(E)는 층마다 사람이 거주할 확률을 나타냅니다. 그렇다면 우리는 이 아파트에 사는 총 주민의 수를 계산해볼게요

'특정층에 집의 수 x 특정층에 사람이 거주할 확률 = 특정층에 거주하는 사람의 수' 를 구할 수 있습니다.

이를 energy state 와 electron 으로 나타내면 'g(E) x f(E) = 특정 에너지에 존재하는 전자의 수' 를 구할 수 있습니다. ( 참고로 여기서 전자는 자유전자로 conduction band 내에 전자를 의미합니다 )

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자 이제 본질로 들어가서 우리는 어떤 물질내의 총 carrier의 수를 구하려고 했죠?

한 아파트의 총 거주자수를 구하려면 각 층의 집의 수와 각 층마다 사람들이 거주할 확률의 곱을 적분하면 되는것처럼 총 캐리어수(여기선 전자)를 구하려면 g(E) x f(E) 를 적분하면 됩니다.

$즉\ \ \ \combi{n}_o=\int _{Ec}^{\ \infty }f\left(E\right)g\left(E\right)dE\ \ \ 와같이\ 농도를\ 구할\ 수\ 있습니다$즉   no​=∫ ∞Ec​f(E)g(E)dE   와같이 농도를 구할 수 있습니다​

그리고 위의 적분결과는 전도대역에 분포되어 있는 모든 전자상태를 전도대역 단연 Ec 에 위치한 유효상태밀도 Nc 로 나타내었을 대 얻어지는 것과 같습니다. 따라서 전도대역의 전자농도는 간단히 Ec 에서의 유효상태밀도에 Ec 에서 점유될 확률을 곱한 것과 같습니다. 즉 no = Ncf(Ec) 입니다.

또한 f(Ec) 는 볼츠만분포에 의해 간단화 된 수식을 위에 대입하면 최종적으로 우리는

$\combi{n}_o\ =\ \combi{N}_c\exp \left(-\frac{\combi{E}_c-\combi{E}_F}{kT}\right)\ \ \ \ \ 라는\ 식을\ 구할\ 수\ 있습니다$no​ = Nc​exp(−Ec​−EF​kT​)     라는 식을 구할 수 있습니다​

마찬가지로 hole(정공)의 경우에는 가전자대역에서 유효상태밀도 Nv 에 Ev 에서 정공에 의해 점유될 확률을 곱한것과 같기 때문에

$\combi{P}_o\ =\ \combi{N}_v\exp \left(-\frac{\combi{E}_F-\combi{E}_v}{kT}\right)\ \ \ 로\ 표현합니다$Po​ = Nv​exp(−EF​−Ev​kT​)   로 표현합니다​

유효상태밀도 식은 참고만 하셔도 괜찮을 것 같습니다.

 

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그리고 열적 평형에서의 에너지 대역도, 상태밀도, 페르미-디랙 분포 및 캐리어 농도 diagram 입니다.

출처 : 고체전자공학6판(Ben streetman)

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그리고 오늘은 수식이 조금 많은데 글로 설명을 하자니 정말 어렵네요^^..;;

이전 포스팅에서 진성반도체에서 no=po=ni 라고 했던걸 기억하시나요?

이를 통해 ​ni^2 = nopo 라는 공식을 유도할 수 있고 이는 외인성반도체에서도 적용이 됩니다.

$그리고\ 진성\ 전자\ 및\ 정공\ 농도는\ \combi{n}_i=\combi{N}_c\combi{e}^{-\frac{\left(\combi{E}_c-\combi{E}_i\right)}{kT}}\ ,\ \ \combi{p}_i=\combi{N}_v\combi{e}^{-\frac{\left(\combi{E}_i-\combi{E}_v\right)}{kT}}$그리고 진성 전자 및 정공 농도는 ni​=Nc​e−(Ec​−Ei​)kT​ ,  pi​=Nv​e−(Ei​−Ev​)kT​​

$그리고\ ni\ =\ pi\ 이기\ 때문에\ \ \ \combi{n}_i\ =\ \sqrt{\combi{N}_c\combi{N}_v}\exp \left(-\frac{\combi{E}_g}{2kT}\right)\ \ 로\ 구할\ 수\ 있습니다.$그리고 ni = pi 이기 때문에   ni​ = √Nc​Nv​exp(−Eg​2kT​)  로 구할 수 있습니다.​

마지막으로 위의 ni , pi 식과 no , po 식을 연립하여 정리하면

$\combi{n}_o=\combi{n}_i\combi{e}^{\frac{\left(\combi{E}_r-\combi{E}_i\right)}{kT}}\ \ ,\ \ \combi{p}_o=\combi{n}_i\combi{e}^{\frac{\left(\combi{E}_i-\combi{E}_F\right)}{kT}}\ \ 로\ 정리됩니다\ \ $no​=ni​e(Er​−Ei​)kT​  ,  po​=ni​e(Ei​−EF​)kT​  로 정리됩니다  ​

왜 이렇게 비슷한 식들을 많이 정리하느냐? 하실수도 있을 것 같습니다.

이는 페르미-디락 분포로 에너지밴드갭 차이를 구할 수 있고 에너지밴드갭을 구하면 조건에 따라

ni 또는 Nc 만을 안다면 우리가 알고 싶은 전자와 정공 즉, 캐리어의 농도에 대해 구할 수 있는 것 입니다.

처음에보면 굉장히 헷갈리고 어렵겠지만 수차례 연습하고 생각한다면 금방 익히실거라 생각됩니다

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마지막으로 온도에 따른 캐리어농도에 대해 알아보겠습니다

엉성한 풀이인데 이해부탁드립니다..ㅎ

마지막 줄을 보시면 ni 식을 일차함수꼴로 치환을 했죠? 이걸 diagram으로 그리면

출처 : 고체전자공학6판(Ben streetman)

이와 같이 나타낼 수 있습니다. 이게 왜 중요할까요?

일반적으로 우리는 300k 에 대해선 여러물질의 ni 값을 알고 있지만 그외의 온도에 대해서는 잘 모르는데요. 이 diagram을 통해서 아주 정확하진 않지만 각 온도에 따른 ni 값을 거의 비슷하게 유추할 수 있고 또한 식과 diagram 비교를 통해 우리는 기울기가 클수록 에너지밴드갭이 크다는 사실 또한 알 수 있습니다.

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출처 : 고체전자공학6판(Ben streetman)

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꽤나 유명한 diagram이죠?

온도에 따른 캐리어농도와 반도체의 거동에 대해 알 수 있는 diagram 입니다.

앞에서 언급했듯이 온도가 너무 높으면 아무리 도핑이 되어 있어도 진성반도체로 거동한다는것을

알 수 있습니다.

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*space charge neutrality

추가로 한가지 개념을 간단하게 언급하자면 도핑을 3족 5족을 동시에 하는 경우가 있습니다. 이럴경우엔

도핑된 양이 캐리어농도라고 볼 수 없는데요. 이유는 3족과 5족에서 나오는 자유전자와 정공이 서로 상쇄되기 때문이죠. 이럴때 쓰는 공식이 있습니다.