오비탈은 슈뢰딩거 방정식으로 도출되는 파동함수(wavefunction)로 정의되는데 주양자수, 부양자수, 자기양자로 구성됩니다. 여기서 반드시 알아야 할 것이 서로 다른 원자라면 무조건 다른 파동함수를 갖는다는 것입니다. 다시말해서 파동함수는 원자의 고유한 성질인것이죠.
그리고 핵을 갖는 모든 원자는 potential energy를 갖고 있는데요. 이러한 PE well 안에서 전자의 에너지는 양자화되어 있습니다. 즉, 전자는 아래의 그림에서처럼 불연속적인 energy state를 갖는다는 것이죠.
출처:https://www.scienceall.com/%EB%93%A4%EB%9C%AC%EC%83%81%ED%83%9Cexcited-state/
그리고 바로 위에 언급했듯이 파동함수는 원자의 고유한 성질이라고 했습니다. 그러면 서로 같은 energy state를 가진 두 원자가 매우 가까워져 서로 결합하게 되면 무슨 현상이 일어날까요?
여기선 파울리의 배타원리를 알아야하는데 간단히 말하면 동일한 계에서 두 전자가 서로 같은 파동함수를 가질 수 없기 때문에 같은 원자라도 결합에 참여할만큼 가까워져서 서로 영향을 주게되면 기존의 state를 유지할 수 없기 때문에 state가 split된다는 것 입니다. 간단한예로 H2의 경우를 보겠습니다
이와 같이 서로가 무한대의 거리에 있을때는 기존의 state를 유지하지만 서로 가까워지면 state가 서로 split 되는데 위로 올라간 에너지적으로 높은 상태를 antibonding molecular orbital 아래의 에너지적으로 낮은 상태를 bonding molecular orbital 이라고 합니다.
Si간의 bonding의 경우에서
그런데 이게 에너지밴드와 무슨 상관이 있을까요?
이번 주제의 본론은 여기부터라고 볼 수 있겠네요. 위의 예시는 굉장히 간단한 H2의 경우를 들었지만
다른 예로 무수히 많은 N개의 Li을 사용하면 split 되는 state가 훨씬 많습니다. 다시말해서 n개의 동일한 state가 모이면 아래 그림처럼 n개의 state로 split이 됩니다.
그런데 이러한 split의 개수가 매우 많기 때문에 state간 차이가 크지 않아 마치 연속적인 구간처럼 보이게 되고 이러한 구간을 band 라고 합니다.
그리고 위의 그림처럼 split되는 state를 전자가 다 채우지 못하기 때문에 state가 split되면 에너지적으로 안정한 아래쪽의 state부터 채우게되고 그렇게 되면 split되는 모든 state를 전자가 채우지 못하고 일부는 채워져있고 일부는 텅 비어있는 valance band와 conduction band로 구분할 수 있게 됩니다. 이런식으로 우리가 흔히 아는 아래의 그림과 같은 band를 도출할 수 있습니다.
출처:http://www.ktword.co.kr/abbr_view.php?m_temp1=4080
그런데 여기서 한가지 의아한점이 생기실텐데요.
반도체와 부도체의 경우 왜 중간에 금지대역이 생기는걸까요?
이것은 kronig-penny model 로서 설명이 가능한데 이를 설명하려면 말이 너무 길어질것 같아
링크첨부하겠습니다..!
일차원 격자 속의 입자 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전
일차원 격자 속의 입자 위키백과, 우리 모두의 백과사전. 양자역학 에서 일차원 격자 속의 입자 (Particle in a one-dimensional lattice) 문제는 주기성을 가진 결정 격자 (crystal lattice)에서 입자의 파동함수를 모델링하면서 등장한다. 이 주기적 퍼텐셜은 결정 내에 주기적으로 존재하는 이온에 의해 생겨나는 전자기장에 의한 것이다. 결정 내의 전자들의 파동함수는 이 주기를 가진 퍼텐셜에 의해 결정된다. 이는 자유전자 모델을 확장하여 풀어낼 수 있다. 목차 1 크로니-페니 모델 1.1 경계조건 1...
ko.wikipedia.org
마지막으로 direct bandgap 과 indirect bandgap 에 대해서 간단히 설명드리고 마치겠습니다.
사실 이 개념또한 양자역학적 개념에서 나온것으로 이를 정확하게 이해하려면 bloch theory 라던가 wavervector 라던가하는 다소 복잡하고 어려운 개념들을 이해해야하기 때문에 소자만을 위해 필요한 최소한의 개념만을 언급하도록 하겠습니다.
E-k diagram
참고로 위 그림에서 k는 파수(wavevector)입니다.
이제 그림에 대해 설명을 하자면 왼쪽그림은 E-k diagram 과 energy band diagram을 비교할 수 있는 그림인데 실제 bandgap은 E-k diagram의 구성과 더 가깝다는 점 알고 가시면 좋을 것 같습니다.
왼쪽그림에서 (a)가 direct bandgap (b),(c)가 indirect bandgap 인데 이 차이는 k 값의 위치에 따릅니다.
보시면 (a)의 경우 CB의 최소점과 VB의 최대점에서의 k 값이 동일하다는 것을 알 수 있습니다. 이럴 경우에 전자는 띠 사이를 수직으로 내려올 수 있습니다. 이때에 띠 사이의 에너지차이만큼 빛이 나오는데요 이를 통해 이러한 반도체의 경우 발광의 용도로 자주 쓰이곤 합니다.
그리고 (b)의 경우를 보시면 k 값이 서로 일치하지 않습니다. 때문에 전자가 띠 사이를 이동하기 위해서는 수직운동 뿐만 아니라 defect state를 만들어 수평운동을 해야하는데 이렇게 수평운동을 할때는 열에너지를 방출하기 때문에 이 경우엔 빛에너지 뿐만아니라 열에너지도 방출된다는 것을 알 수 있습니다.
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