열역학 공부_카르노 기관

지금 알고있는 정보는, 카르노 기관이 주어진 조건에서 최대의 열 효율을 내는 기관이고, 그 열 효율은 고온과 저온 열원의 절대 온도에 의해서 결정된다는 것이다. 이는 아래 그림의 (a) 로 나타낼 수 있다.

그런데 그림 (b) 를 보자. 열의 흐름이 저온에서 고온 방향이다. 지난 포스팅에서 열전달'만' 존재할 땐 열의 흐름이 항상 고온에서 저온 방향이라고 언급했다. 하지만 외부에서 시스템으로의 일의 공급이 있다면 저온에서 고온으로 열이 흐르는 것이 가능하다. 이런 카르노 기관을 카르노 열 펌프라 한다. 열을 말 그대로 끌어올린다는 뜻이다.

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중력 하에서 물은 자연히 높은 곳에서 아래로 흐르지만, 펌프로 압력 강하를 중력보다 크게 하면 물을 끌어올릴 수 있는 것과 비슷한 원리다. 정확하게는, 카르노 기관의 모든 과정이 가역이기 때문에, 이 과정을 거꾸로 돌려도 상관없기 때문이다.

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이 경우에는 열 효율 대신 아래와 같이 성능 계수라는 것을 새로 정의하여 사용한다.

시스템에 해준 일로 얼마 만큼의 열을 저온에서 뽑아낼 수 있는지 정량적으로 표현해주는 값이다. 카르노 열 펌프에 대해 성능 계수는 다음과 같다.

 

만약 우리가 일반적으로 사용하는 냉장고가 4℃ 에서 열을 끌어올려 24℃ 에 방출하는 카르노 열 펌프라면, 성능 계수는

일반적인 냉장고는 가역 과정으로 이루어진 cycle이 아니므로 위의 성능 계수에 절대 미치지 못한다. 그럼 이제 카르노 기관이 어떤 cycle로 돌아가는지 알아보자.

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● Carnot engine with ideal-gas state working fluid

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우선 카르노 기관에 의해 순환하는 이상 기체 상태의 유체는 PV 평면상에 아래와 같이 표현된다.

네 개의 가역 과정으로 이루어지는 것을 알 수 있다. 하나씩 살펴보면 아래와 같다.

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① a → b : 온도 TC 에서 TH 로 가열되는 가역 단열 압축

② b → c : 온도 TH 에서 열을 QH 만큼 흡수하는 가역 등온 팽창

③ c → d : 온도 TH 에서 TC 로 냉각되는 가역 단열 팽창

④ d → a : 온도 TC 에서 열을 QC 만큼 방출하는 가역 등온 압축

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시스템은 당연히 카르노 기관에 의해 움직이는 이상 기체 상태의 유체이다.

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등온 과정부터 분석해보자.

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가역 등온 팽창 b → c 에서 흡수하는 열 QH 와 가역 등온 압축 d → a 에서 방출하는 열 QC 는 다음과 같다.

등온 과정이므로 시스템이 팽창하면서 해주는 일 W1과 압축하면서 받는 일 W3 는

다시 열에 관한 두 식을 나누면

등온 과정의 관계식들을 구했다.

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다음으로 두 단열 과정은 dQ=0 에서 출발한다. 이전 이상 기체 포스팅에서 단열 과정 관계식들을 유도하는 기본 식 중 하나를 들고오면 다음과 같다.

가역 단열 압축 a → b 와 가역 단열 팽창 c → d 에 대해 각각 적분하면

 

두 식의 좌변이 같은 것을 알 수 있다. 따라서 우변을 equating 시키면

이 결과를 식 a 에 대입하면

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앞선 포스팅에서 나왔던 카르노 기관의 표현 식과 같은 것임을 알 수 있다.

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단열 과정에서 주고 받은 일을 구해보면

따라서 카르노 기관의 한 cycle 동안 유체가 주고 받은 일 W 은

 

적분 두개는 위끝 아래끝이 같고 부호가 다르므로 서로 상쇄된다. 이 값은 그래프에 나타난 휘어진 사각형의 내부 넓이임을 알 수 있다.

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유체가 받은 열은 QH 뿐이므로 카르노 기관의 열 효율은

다시 상기시키면, 주어진 조건에서 최대의 열 효율을 가지는 기관은 카르노 기관이고, 그 열 효율은 항상 두 열원의 온도에 의해서만 결정된다.